একটি বাক্সে 10টি নীল ও 10টি লাল বল আছে। দুটি বলকে যেমন খুশি টানলে প্রতিবার দুইটি ভিন্ন রংয়ের বল হওয়ার সম্ভবনা কত?

বিস্তারিত সমাধান:

বাক্সে মোট বল আছে = 10টি নীল + 10টি লাল = 20টি।

এই 20টি বল থেকে যেকোনো 2টি বল তোলার মোট উপায় হলো:

\(^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190\)

এখন, একটি নীল এবং একটি লাল বল তোলার উপায় নির্ণয় করতে হবে।

10টি নীল বল থেকে 1টি নীল বল তোলার উপায় হলো \(^{10}C_1 = 10\)

10টি লাল বল থেকে 1টি লাল বল তোলার উপায় হলো \(^{10}C_1 = 10\)

সুতরাং, 1টি নীল ও 1টি লাল বল তোলার মোট উপায় হলো:

\(^{10}C_1 \times ^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100\)

অতএব, দুটি ভিন্ন রঙের বল হওয়ার সম্ভাবনা হলো:

P(ভিন্ন রং) = (1টি নীল ও 1টি লাল বল তোলার উপায়) / (মোট 2টি বল তোলার উপায়)

\(= \frac{100}{190}\)

\(= \frac{10}{19}\)

💡 বিকল্প পদ্ধতি (Conditional Probability):

প্রথম বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{20}\)

প্রথম বলটি নীল হলে, বাক্সে 19টি বল থাকে (10টি লাল, 9টি নীল)।

এখন দ্বিতীয় বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{19}\)

প্রথম বলটি নীল এবং দ্বিতীয় বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{20} \times \frac{10}{19} = \frac{100}{380}\)

অথবা,

প্রথম বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{20}\)

প্রথম বলটি লাল হলে, বাক্সে 19টি বল থাকে (10টি নীল, 9টি লাল)।

এখন দ্বিতীয় বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{19}\)

প্রথম বলটি লাল এবং দ্বিতীয় বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{20} \times \frac{10}{19} = \frac{100}{380}\)

দুটি ভিন্ন রঙের বল পাওয়ার মোট সম্ভাবনা = (প্রথমটি নীল ও দ্বিতীয়টি লাল) + (প্রথমটি লাল ও দ্বিতীয়টি নীল)

\(= \frac{100}{380} + \frac{100}{380}\)

\(= \frac{200}{380}\)

\(= \frac{20}{38}\)

\(= \frac{10}{19}\)